Modellering af konverteringsadfærd

Introduktion

• Vi ønsker at forstå prisfastsættelsen og risikonøgletal på en konverterbar realkreditobligation
  
• Prisfastsættelsen er kompleks:
  • Rentestrukturmodel → fremtidige renter og konverteringer
    
  • Prepayment-model → låntagernes konverteringsadfærd
    
  • Numeriske metoder (MLE, PDE-gitter, Monte Carlo)
    
• I dette kursus holder vi os til overfladen, men kompleksiteten er stadig stor
  
• Praktikere handler ofte på resultaterne – uden selv at beregne modellerne

Optionselementet

• Låntager kan altid indfri sit fastforrentede realkreditlån til pari (kurs 100)
  
• Det svarer til, at låntager har en call-option på egen gæld
  
• For investoren betyder det:
  • Betalingsrækken er usikker
    
  • Konverteringsadfærd har stor indflydelse på obligationens værdi

Ordinær ydelsesrække (uden konvertering)

• Eksempel: 5% NYK 2053
  
• Ingen konvertering → deterministisk cashflow
  
• Figuren viser rente + afdrag som annuitet
  
• Investoren ville foretrække denne stabile betalingsstrøm

Ydelsesrække med konvertering

• Virkeligheden: Mange låntagere konverterer
  
• Resultat: kortere betalingsstrøm, usikker profil
  
• Konverteringsraten (CPR) afgør, hvor hurtigt obligationen afvikles

Hvad driver konverteringer?

• Strukturelle ændringer (flytning, skilsmisse, jobskifte)
  
• Alternativ finansiering (skifte til fleks/variabelt lån)
  
• Økonomisk gevinst (rentefald → gevinst ved omlægning)
  
• Sidste punkt er det vigtigste og kan modelleres

Definition

• CPR = andel af udestående restgæld, som indfries til pari i en periode
  
• På dansk: konverteringsraten
  
• Sammen med ordinære udtræk giver det den samlede udtræksprocent

\[ UDT = 100 \cdot CPR + ORD \cdot (1 - CPR) \]

Eksempel: CK95-data

• 5%-serien havde klart større konvertering pga. gevinstmuligheder
  
• Modeller skal fange forskelle og give estimater før tallene offentliggøres

Debitorfordelinger (CK92)

• Serier består af tusindvis af lån
  
• Kun restgældsfordelinger offentliggøres (ikke adresser)
  
• Lån opdeles i private og erhverv

Fordeling af obligationsrestgæld pr. 23/09/2024

• Nedenstående er rå debitorfordelingsdata for en 5% NYK 2053 ::: {.smaller style=“font-size: 0.6em”} | Interval | Privat (mio. kr.) | Privat % | Erhverv (mio. kr.) | Erhverv % | Total (mio. kr.) | |———-|——————:|———:|——————-:|———-:|—————–:| | 1 | 11,2 | 0,0 % | 0,2 | 0,0 % | 11,4 | | 2 | 723,7 | 1,2 % | 4,0 | 0,0 % | 727,7 | | 3 | 8.921,3 | 14,9 % | 32,9 | 0,1 % | 8.954,2 | | 4 | 41.113,6 | 68,8 % | 304,1 | 0,5 % | 41.417,6 | | 5 | 7.338,2 | 12,3 % | 429,4 | 0,7 % | 7.767,6 | | 6 | 44,7 | 0,1 % | 506,2 | 0,8 % | 550,9 | | 7 | – | 0,0 % | 331,3 | 0,6 % | 331,3 | | Total| 58.152,6 | 97,3 % | 1.608,1 | 2,7 % | 59.760,7 | :::

Homogen gruppering af debitordata 23/09/2024

• Vi kan gruppere det smartere! Nemmere at modellere
• Findes flere forskellige metoder og måder at gruppere på.
• 

Gruppering

• Forenkling: lån opdeles i Small, Medium, Large
  
• Store lån konverterer hurtigere end små (større økonomisk gevinst, bedre rådgivning)

Hvorfor have en konverteringsmodel?

• Konverteringsadfærd er svær at forudsige, fordi beslutningen afhænger af mange faktorer:
  • Kreditværdighed
    
  • Forventninger til fremtiden
    
  • Jobsituation, skilsmisser osv.
    
• Det er derfor umuligt at modellere alle detaljer → vi har brug for en praktisk og intuitiv model
  
• Formålet er ikke at lave en perfekt model, men en model der kan bruges til:
  • Prisfastsættelse af konverterbare obligationer
    
  • Beregning af risikonøgletal

Jakobsen-modellen (1992)

• Udviklet af Svend Jakobsen (medstifter af Scanrate)
  
• Bygger på to hovedelementer:
  1. Gevinstkravsmodellen → estimerer sandsynligheden for konvertering baseret på økonomisk gevinst
     
  2. Miksturmodellen → opdeler låntagere i grupper med forskellig konverteringsadfærd
     
• Kombinationen giver en mere realistisk beskrivelse af, hvordan hele obligationsserien konverterer

Den centrale drivfaktor

• Den eneste stokastiske variabel i gevinstkravsmodellen:
  • Gevinsten ved at refinansiere
    
• Intuition: Jo større gevinst en låntager kan opnå, desto større er sandsynligheden for konvertering
  
• Denne variabel undersøges i næste afsnit: Gevinstkravsmodellen

Gevinstkravsmodellen

• Låntagere konverterer, når gevinsten overstiger deres personlige krav
  
• Gevinsten beregnes som:

\[ Gain = \frac{PV_{continue} - 100 \cdot (1+c)}{PV_{continue}} \] - \(c\) = omkostning ved konvertering (fx 2%)
- Hver låntager har forskelligt gevinstkrav → spredning

Gevinstkravsmodellen

Miksturmodellen

• Gevinstkravsmodellen udvides med flere variable
  
• CPR for en serie er vægtet sum af gruppernes CPR

\[ \text{CPR} = \sum_j w_j \cdot \text{CPR}_j \]

• Faktorer:
  • Gevinst (+)
    
  • Burnout (+)
    
  • Restløbetid (–)

Burnout-effekten

• Aggressive låntagere konverterer først → serien bliver “udbrændt”
  
• Få tilbageværende låntagere konverterer langsommere
  
• Effekt: fremtidig CPR falder, hvis meget er indfriet
  \[ \begin{cases} \begin{aligned} I_{ss,t}(1 - \text{CPR}_t) \;+\;& (1 - I_{ss,t}) \,\text{Burnout}_{t-1} \\ &\times (1 - \text{CPR}_t) \end{aligned}, & \text{if } I_{ss,t} > 0 \\[6pt] \text{Burnout}_{t-1}(1 - \text{CPR}_t), & \text{if } I_{ss,t} \leq 0 \end{cases} \]

Burnout-effekten

Tid til udløb-effekten

• Kortere lån → konverteres typisk ved lavere gevinstniveau
  
• Længere lån → låntager kan vente længere (optionen kan blive mere værd)
  
• Argument fra optionsteorien: Jo længere tid til udløb, desto større sandsynlighed for at call-optionen går dybere i pengene

\[ \text{Restløbetid} = \frac{\text{Udløbsdato – Terminsdato}}{365} \]

Tid til udløb-effekten

• Eksempel:
  – Nyk 5 2046 kræver lavere gevinst for at konvertere
  – Nyk 5 2053 har længere horisont → større sandsynlighed for fremtidig gevinst

Tre grupper

• Hver låntagergruppe har egen CPR-funktion
  
• Store lån → hurtigere konvertering ved samme gevinst
  
• Samlet CPR = vægtet gennemsnit

Modelopdatering

• Nye data ændrer estimerede funktioner
  
• Opdatering sker typisk kvartalsvist

Usikkerhed

• Jo længere tidshorisont → større usikkerhed
  
• Både renter og låntageradfærd kan ændre sig

Takeaways

• Konverteringsoptionen = call-option for låntager, risiko for investor
  
• CPR (konverteringsrate) afgør cashflow og risiko
  
• To modelkomponenter:
  1. Gevinstkravsmodel (gevinstdrevet konvertering)
     
  2. Miksturmodel (forskelle på låntagergrupper)
     
• Faktorer: gevinst, burnout, restløbetid
  
• Modeller giver bud – men usikkerhed vokser med horisonten

Udtræk på serieniveau (CK95)

Du har følgende CK95-data på to forskellige realkreditobligationer:

1. Udregn det ordinære udtræk for begge obligationer.
   
2. Udregn CPR for begge obligationer.
   
3. Du får nu at vide, at 1.5 RD handler til kurs 85 og 5.0 NYK handler til kurs 102. Hvorfor har det en betydning for det observerede ekstraordinære afdrag?
   
4. Hvorfor tror du, at der er så stor forskel i prisen mellem de to obligationer? (Hint: argumenter ud fra kuponrenten)

Debitorfordelinger (CK92)

Du får følgende debitorfordelinger for de samme obligationer:

1. Placer hver af de 7+7 (private + virksomheder) i de tre grupperinger jævnfør figuren af mappingsreglerne. Gør dette for hver af de to obligationer.
   
2. Udregn nu vægtene for hver gruppe i hver obligation.
   
3. Argumenter for hvilke mulige årsager der står bag, hvorfor medium-group er så stor for DK0009539116?

Gain-beregning

• Du får at vide at nutidsværdien ved at fortsætte dit lån er \(PV = 110.28\) samt der er en procentvis omkostning ved at konvertere dit lån på 5 %. Beregn gevinst-variablen ved at konvertere dit lån. Burde man konvertere?
  
• Du får at vide at nutidsværdien for at fortsætte sit lån på en anden obligation er på 101. Burde man konvertere?
  
• Hvad nu, hvis omkostningsprocenten falder til 2 % i ovenstående obligation. Burde man konvertere?

Miksturmodellen

Du får oplyst følgende estimerede gruppe-CPR:

\[ \begin{aligned} CPR_{1} &= 1.43\% \\ CPR_{2} &= 3.27\% \\ CPR_{3} &= 7.64\% \end{aligned} \]

Samt følgende grupperede nominelle værdier:

\[ \begin{aligned} SamletNominel_{1} &= 6{,}939{,}580 \ \text{DKK} \\ SamletNominel_{2} &= 7{,}667{,}202 \ \text{DKK} \\ SamletNominel_{3} &= 6{,}421{,}709 \ \text{DKK} \end{aligned} \]

1. Beregn det vægtede serie-CPR ud fra ovenstående information.
   
2. Antag at det generelle renteniveau falder. Hvad sker der med det vægtede CPR? Hvorfor?
   
3. Du får at vide, at burnout er på 0.92 i nuværende kvartal, samt at serien er lukket. Hvad var burnout i forrige kvartal givet dit udregnede serie-CPR? Hvilken betydning har det på burnout, hvis vi antager serien er lukket?
   
4. Hvis det generelle renteniveau som sagt falder, hvordan kommer det til at påvirke burnout i nuværende og fremtidige perioder?
   
5. Antag nu at serien er åben for nyudstedelser og at andelen af nyudstedelser \(I_{ss,t} = 0.15\). Udregn nu burnout for den nuværende periode og sammenlign_